76. 반음계

Fundamentals of piano practice

피아노 연습의 원리 한글판 (dcinside digital piano gallery)

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PDF의 반음 비율과 음정표는 12평균율의 수학을 설명하는 자료로 쓸 수 있음. 반면 서양 반음계가 인간의 뇌에 꼭 필요한 유일한 체계이며, 달팽이관이 음정을 로그 계산한다는 설명은 저자의 가설임. 수학적으로 확인되는 부분과 청각·역사 해석을 나누어 씀.

연속적인 음높이에서 열두 음을 고름

목소리와 바이올린처럼 음높이를 연속해서 바꿀 수 있는 소리도 있음. 피아노는 한 옥타브를 열두 건반으로 나누어 정해진 음만 냄. 서양 악보도 주로 이 열두 음을 기준으로 적음.

글리산도, 비브라토와 음 사이의 미세한 흔들림은 기존 악보에서도 기호와 설명으로 나타낼 수 있음. 연주자가 똑같이 재현할 만큼 모든 변화를 적기는 어렵지만, “무한한 음높이는 표기할 수 없음”이라는 말만으로 열두 음 체계가 생긴 까닭을 설명할 수는 없음. 다른 음악 문화에서는 서양의 12평균율과 다른 음계와 음정도 사용함.

PDF는 펭귄 새끼가 수많은 개체 사이에서 부모의 목소리를 구별하는 사례를 듦. 동물의 음성 인식에는 음높이뿐 아니라 음색, 리듬, 시간에 따른 변화가 함께 작용함. 연속적인 주파수를 쓴다는 사실만으로 설명하지 않음.

‘완전성’이라는 비유의 한계

저자는 제한된 음표로 실제 소리를 얼마나 가깝게 나타내는지를 ‘완전성(completeness)’이라고 부르고, 디지털 사진의 픽셀에 비유함.

수학에서 완전성은 분야마다 엄밀한 뜻이 따로 있음. 서양 반음계가 모든 음악을 충분히 가깝게 나타낸다는 보편적인 정리도 없음. 여기서는 “이 곡의 중요한 음높이를 열두 음으로 얼마나 잘 옮길 수 있는가”라는 저자의 비유로만 이해함.

열두 음을 고른 데에는 역사와 실용이 함께 작용함

PDF는 뇌가 3도, 4도, 5도, 6도와 옥타브를 필요로 하므로 한 옥타브에 열두 음이 생겼다고 설명함. 오늘날 확인할 수 있는 수학은 조금 다름.

완전5도의 주파수비 3:2를 거듭 쌓으면 여러 음을 만들 수 있음. 열두 번 쌓은 5도는 일곱 옥타브에 매우 가까워 원을 닫기 좋은 수를 제공함. 정확히 같지는 않아 작은 차이가 남으며, 다음 장에서 피타고라스 콤마로 다룸. 악기 제작, 조옮김, 화성 관습과 역사적인 선택이 겹쳐 서양 음악의 열두 음 체계가 자리 잡았음.

열두 음이 자연에서 유일하게 가능한 답이거나 인간의 뇌가 반드시 요구하는 최소 개수는 아님. 옥타브를 더 많거나 적은 수로 나눈 평균율도 만들 수 있음.

12평균율의 반음 비율

옥타브가 올라가면 주파수는 두 배가 됨. 옥타브를 같은 주파수비의 반음 열두 개로 나누면 반음 하나의 비율을 $r$ 이라 할 때 다음 관계가 성립함.

r^{12}=2

r=2^{1/12}=1.059463\ldots

어떤 음의 주파수가 $f$ 라면 반음 $n$ 개 위의 주파수는 $f\times2^{n/12}$ 임. 덧셈이 아니라 일정한 비율을 계속 곱하므로 음높이를 로그 눈금으로 나타낼 수 있음.

순정 음정과 12평균율의 차이

단순한 정수비로 만든 순정 음정과 12평균율의 음정은 옥타브를 제외하면 조금씩 다름.

음정	순정비	12평균율 비율	순정비와의 차이
단3도	6:5 = 1.2000	$2^{3/12}$ = 1.1892	-15.64센트
장3도	5:4 = 1.2500	$2^{4/12}$ = 1.2599	+13.69센트
완전4도	4:3 = 1.3333	$2^{5/12}$ = 1.3348	+1.96센트
완전5도	3:2 = 1.5000	$2^{7/12}$ = 1.4983	-1.96센트
옥타브	2:1 = 2.0000	$2^{12/12}$ = 2.0000	0센트

3도의 차이는 4도와 5도보다 커서 화음의 맥놀이와 색채가 더 분명하게 달라짐. 이를 무조건 ‘받아들일 수 없는 불협화음’이라고 부르기보다, 평균율이 모든 조에서 같은 음정 구조를 얻는 대신 순정비를 조금씩 포기한 결과로 이해함.

PDF는 정수 7이 들어간 비율을 반음계가 받아들이지 못한다고 설명함. 7:4의 자연7도는 12평균율의 단7도와 약 31센트 차이가 나지만, 정수 7 자체가 불협화음을 만드는 것은 아님. 블루스와 배음에 바탕을 둔 음악에서는 이런 음정도 중요한 재료가 됨.

로그 구조가 조옮김을 가능하게 함

12평균율에서는 어느 음에서 시작해도 같은 반음 간격을 적용할 수 있음. C장조의 간격을 그대로 옮기면 다른 조의 장음계가 됨. 건반 수를 새로 늘리지 않고 모든 조를 연주할 수 있다는 장점이 큼.

완전4도 4:3과 완전5도 3:2를 곱하면 2:1 옥타브가 됨.

\frac{4}{3}\times\frac{3}{2}=2

로그로 바꾸면 곱셈이 덧셈이 되므로 두 음정의 크기를 더해 옥타브를 얻는다고 표현할 수 있음. 피아노가 계산기처럼 실제 산술을 수행한다기보다 건반 간격이 로그 주파수 관계를 눈에 보이게 배치한다고 이해하는 편이 알맞음.

달팽이관도 주파수를 위치로 나눔

달팽이관의 기저막은 높은 주파수와 낮은 주파수에 가장 잘 반응하는 위치가 다름. 사람의 주파수-위치 지도는 대체로 지수 함수에 가까운 형태로 설명할 수 있음.[1]

이 구조가 12평균율 반음계와 수학적으로 완전히 같거나, 뇌가 위치 차이를 자처럼 재서 화음을 계산한다는 뜻은 아님. 실제 청각에는 달팽이관 이후의 신경 처리, 배음, 시간 정보, 경험과 음악 문화가 함께 관여함.

PDF의 C3·C4·C5 위치가 각각 정확히 2mm 간격으로 벌어진다는 예도 실제 측정값이 아니라 로그 관계를 설명하려고 만든 가상 사례임.

절대음감과 상대음감에 관한 주장

A4를 440Hz로 맞추는 기준은 합주를 위한 관습임. 기준 피치는 시대와 단체에 따라 달라질 수 있음. 이 사실만으로 절대음감에 타고난 영향이 전혀 없다고 결론 내릴 수는 없음. 절대음감은 이른 음악 경험과 학습의 영향을 크게 받으며 개인차도 나타남.

상대음감도 모든 사람이 태어날 때 완성된 상태로 갖는 능력은 아님. 음정 관계를 듣는 기본 능력 위에 음악 경험과 훈련이 더해짐. 관련 내용은 17. 절대음감과 상대음감에서 다룸.

PDF는 색각을 ‘절대 시각’이라고 부르며 모든 사람이 같은 빨강을 보고 나이가 들어도 변하지 않는다고 씀. 색 지각은 조명, 주변 색, 눈의 상태와 노화에 따라 달라질 수 있으므로 음높이와 단순하게 대조할 수 없음.

실제 연주에서 들리는 차이

같은 2.4Hz 차이라도 40Hz 부근에서는 큰 비율이고 2000Hz 부근에서는 작은 비율임. 음높이 차이는 헤르츠의 단순한 차이보다 두 주파수의 비율로 비교하는 편이 음악적으로 유용함.

12평균율은 현대 피아노와 합주에서 널리 쓰이는 실용적인 체계임. 순정률, 피타고라스 음률, 여러 웰 템퍼러먼트와 미분음 체계도 서로 다른 목적을 가짐. 다음 장에서는 고정된 열두 음 안에서 오차를 어떻게 나누는지 살펴봄.

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