04. 음류 집합·노멀 폼·변형

Open Music Theory

Open Music Theory 한글판 · dcinside digital piano gallery

같은 음류를 어떤 순서와 옥타브에 놓았는지까지 모두 따지면, 서로 관계 있는 화음이나 동기를 비교하기 어려움. 음류만 묶어 적고, 가장 좁은 배열인 노멀 폼으로 정리한 뒤 이조와 전위를 계산하면 관계가 드러남.

음류 집합과 노멀 폼

음류 집합(pc set)은 음류를 하나의 단위로 묶은 것임. 음류의 수나 화음의 이름은 상관없음. [0, 4, 7] 같은 장3화음도, 무조 음악의 어떤 세 음도 음류 집합이 될 수 있음.

노멀 폼은 같은 음류들을 한 옥타브 안에 오름차순으로 놓았을 때 가장 좁게 모이는 배열임. 3화음의 근음 위치처럼 집합을 비교하기 위한 공통 기준이라고 생각하면 됨. 다만 노멀 폼은 3화음과 7화음만이 아니라 어떤 음류 집합에도 적용함.

G♯₄, A₂, D♯₃, A₄를 예로 들어 보겠음. 같은 A는 하나만 남기면 음류가 8, 9, 3임.

순서	할 일	이 예의 결과
1	중복을 지우고 한 옥타브 안에 들어오게 음류를 적음	8, 9, 3
2	첫 음을 끝에 한 번 더 적어 원을 닫음	8, 9, 3, 8
3	이웃한 두 음류 사이의 방향 음류 음정 중 가장 큰 간격을 찾음	8→9 = 1, 9→3 = 6, 3→8 = 5
4	가장 큰 간격 바로 다음 음부터 다시 적음	[3, 8, 9]

가장 큰 빈틈을 집합 바깥으로 내보내면 남은 음들이 가장 좁게 모임. 가장 큰 간격이 둘 이상이면 한쪽 끝에 더 촘촘하게 모이는 배열을 고름. 그마저 같으면 아래쪽에 더 촘촘하게 모이는 배열을 노멀 폼으로 삼음.

시계판으로 열두 음류를 놓고 가장 큰 빈 구간을 찾는 방법도 같은 원리임. 계산보다 시각적으로 익히는 편이 편하면 8장 2절의 시계 도해를 돌려 보며 시작점을 바꿔 보면 됨.

이조: $T_n$

음류 집합의 이조는 각 수를 같은 반음 수만큼 옮기는 연산임. $T_n$ 의 $n$ 은 몇 반음 옮겼는지를 적는 지수이며, 12를 법으로 계산함. 12 이상이 되면 12를 빼고 다시 0~11 안으로 돌아옴.

드뷔시 〈가라앉은 대성당〉의 동기 D–E–B, 곧 ⟨2, 4, 11⟩는 18마디에서 F♯–G♯–D♯, 곧 ⟨6, 8, 3⟩으로 네 반음 위에 다시 나옴. 시작 음고는 바뀌어도 방향 음정의 배열은 보존되므로 귀로도 같은 동기의 상승을 들을 수 있음. 18마디에서 19마디로 갈 때는 음류 집합만 이조되고 앞의 순서는 보존하지 않아, 노멀 폼으로 정리해야 관계가 더 잘 보임.

T_4[11,2,4]=[3,6,8]

두 집합의 이조 관계를 찾을 때는 같은 노멀 폼 순서로 놓고 앞 집합을 뒤 집합에서 뺌. 모든 자리에 같은 수가 나오면 그 수가 $T_n$ 의 $n$ 임.

[3,6,8]-[11,2,4]=[4,4,4]\pmod {12}

따라서 [11, 2, 4]와 [3, 6, 8]은 $T_4$ 관계임. $T_n$ 은 집합에 실제로 하는 이조 연산을 가리킬 수도 있고, 두 집합 사이가 얼마나 떨어졌는지 재는 말로도 씀.

전위와 $I_n$

전위는 이조처럼 비슷한 음정 내용을 남기되, 음정의 배치를 거울처럼 뒤집는 연산임. Chen Yi의 〈Duo Ye〉(2000)에서 [2, 4, 7]이 [1, 4, 6]으로 바뀌는 두 악구는 같은 음정류를 품어 비슷하게 들림. 다만 [1, 4, 6]에서는 음정 3이 위가 아니라 아래에 놓여 이조와는 다른 모양이 됨.