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05. 집합류와 원형

Megan Lavengood · Brian Moseley

집합류는 이도나 전회로 서로 이어지는 음고류집합의 무리임. 여기서 ‘류’는 관계를 공유하는 무리를 가리킴. 앞에서 배운 두 가지 ‘류’를 먼저 떠올리면 이해하기 쉬움.

  • 음고와 음고류: 음고는 특정 옥타브와 표기를 지닌 개별 음이고, 음고류는 옥타브상동성과 이명동음성으로 묶은 음고의 무리임.
  • 음정과 음정류: 음정은 반음 수로 잰 구체적인 거리이고, 음정류는 전회나 옥타브 관계로 묶이는 음정의 무리임.

음고류집합과 집합류

Section titled “음고류집합과 집합류”

‘음고류집합’과 ‘집합류’에는 집합과 류라는 두 종류의 묶음이 함께 들어 있어 처음에는 헷갈릴 수 있음.

  • 류는 어떤 관계를 공유하는 대상의 무리임.
  • 집합은 특별한 관계가 없어도 분석자가 묶은 대상의 무리임.

생물 분류에 빗대면 차이가 분명해짐. 속씨식물은 꽃을 피운다는 생물학적 관계로 묶인 식물의 류임. 반면 어느 집 앞마당에 있는 식물들은 위치 때문에 한데 모였을 뿐이므로 식물 집합은 되지만 식물의 류는 아님.

음고류집합도 분석자가 음악적 까닭에 함께 묶은 음고류임. 음고류집합류라는 긴 이름은 보통 뒤의 두 낱말만 남겨 집합류라고 부름. 집합류에는 이도나 전회로 서로 이어지는 음고류집합들이 들어감.

왜 이도와 전회인가

Section titled “왜 이도와 전회인가”

후기조성 음악은 음고류집합 사이의 이도와 전회 관계를 살펴 분석할 수 있음. Bartók의 〈Subject and Reflection〉에서 오른손의 [10, 0, 2, 3, 5]와 [3, 5, 7, 8, 10]은 T5T_5 관계이며, 두 왼손 집합도 같은 관계임. 각 대목 안에서 오른손과 왼손은 첫 대목에서 I8I_8, 둘째 대목에서 I6I_6 관계임.

예 1. 〈Subject and Reflection〉의 대목 사이에 나타나는 TnT_n과 InI_n 관계.

이 짧은 음형들이 한결같이 닮아 들리는 까닭은 모두 같은 집합류에 속하기 때문임.

장3화음과 단3화음으로 생각해도 됨. 이 화음들은 음군, 4도 화음, 증3화음, 감3화음과 견주면 서로 같은 부류로 들림. 모든 장3화음과 단3화음이 이도 또는 전회로 이어지기 때문임.

  • 같은 성질의 3화음끼리는 이도 관계임.
  • C장3화음 [0, 4, 7]의 T2T_2는 D장3화음 [2, 6, 9]임.
  • A단3화음 [9, 0, 4]의 T2T_2는 B단3화음 [11, 2, 6]임.
  • 장3화음과 단3화음처럼 성질이 반대인 3화음끼리는 전회 관계임.
  • C장3화음 [0, 4, 7]의 I0I_0는 F단3화음 [5, 8, 0]임.
  • C장3화음 [0, 4, 7]의 I2I_2는 G단3화음 [7, 10, 2]임.

원형

Section titled “원형”

음고류집합을 표준서열로 이름 붙이듯 집합류는 원형으로 이름 붙임. 원형은 집합을 0으로 이도한 뒤, 전회한 결과와 비교해 왼쪽에 더 조밀하게 몰린 배열임.

원형은 집합류의 이름표일 뿐 특별한 지위를 갖지 않음. 작곡가가 [0, 1, 4]를 실제 음고류집합으로 썼다고 해도 원형 (014)와 정수가 같다는 사실만으로 더 중요해지지는 않음.

수학적 절차

Section titled “수학적 절차”

예 1의 동기를 원형으로 만드는 절차는 다음과 같음.

단계예
1. 음고류집합을 표준서열로 놓음.[10, 0, 2, 3, 5]
2. 첫 음고류가 0이 되도록 이도함.T2=[0,2,4,5,7]T_2=[0,2,4,5,7]
3. 2단계의 집합을 전회하고 표준서열로 놓음.I0=[5,7,8,10,0]I_0=[5,7,8,10,0]
4. 3단계의 첫 음고류가 0이 되도록 이도함.T7=[0,2,3,5,7]T_7=[0,2,3,5,7]
5. 2단계와 4단계를 비교해 왼쪽에 더 조밀한 집합을 고름. 쉼표 없이 소괄호로 묶음.(02357)이 예 1의 원형임.

시계판으로 찾기

Section titled “시계판으로 찾기”

시계판에서도 표준서열과 원형의 차이를 확인하고 각각을 찾을 수 있음.

예 2. 시계판으로 원형을 찾는 영상.

집합류 표

Section titled “집합류 표”

집합류와 원형의 수는 유한함. 아래 표는 집합류를 기수에 따라 배열하고 원형, Forte 번호, 음정류 벡터를 함께 제시함. X–X 꼴은 Forte 번호임. 표의 두 세로 절반에서 마주 보는 두 집합류는 서로 여집합이며, 둘을 합하면 열두 음고류 전체가 됨. 왼쪽에는 작은 집합류, 오른쪽에는 큰 집합류를 놓았음.

집합류 전체 표

원형Forte 번호음정류 벡터원형Forte 번호음정류 벡터
(012)3–1<210000>(012345678)9–1<876663>
(013)3–2<111000>(012345679)9–2<777663>
(014)3–3<101100>(012345689)9–3<767763>
(015)3–4<100110>(012345789)9–4<766773>
(016)3–5<100011>(012346789)9–5<766674>
(024)3–6<020100>(01234568T)9–6<686763>
(025)3–7<011010>(01234578T)9–7<677673>
(026)3–8<010101>(01234678T)9–8<676764>
(027)3–9<010020>(01235678T)9–9<676683>
(036)3–10<002001>(01234679T)9–10<668664>
(037)3–11<001110>(01235679T)9–11<667773>
(048)3–12<000300>(01245689T)9–12<666963>
(0123)4–1<321000>(01234567)8–1<765442>
(0124)4–2<221100>(01234568)8–2<665542>
(0125)4–4<211110>(01234578)8–4<655552>
(0126)4–5<210111>(01234678)8–5<654553>
(0127)4–6<210021>(01235678)8–6<654463>
(0134)4–3<212100>(01234569)8–3<656542>
(0135)4–11<121110>(01234579)8–11<565552>
(0136)4–13<112011>(01234679)8–13<556453>
(0137)4–Z29<111111>(01235679)8–Z29<555553>
(0145)4–7<201210>(01234589)8–7<645652>
(0146)4–Z15<111111>(01234689)8–Z15<555553>
(0147)4–18<102111>(01235689)8–18<546553>
(0148)4–19<101310>(01245689)8–19<545752>
(0156)4–8<200121>(01234789)8–8<644563>
(0157)4–16<110121>(01235789)8–16<554563>
(0158)4–20<101220>(01245789)8–20<545662>
(0167)4–9<200022>(01236789)8–9<644464>
(0235)4–10<122010>(02345679)8–10<566452>
(0236)4–12<112101>(01345679)8–12<556543>
(0237)4–14<111120>(01245679)8–14<555562>
(0246)4–21<030201>(0123468T)8–21<474643>
(0247)4–22<021120>(0123568T)8–22<465562>
(0248)4–24<020301>(0124568T)8–24<464743>
(0257)4–23<021030>(0123578T)8–23<465472>
(0258)4–27<012111>(0124578T)8–27<456553>
(0268)4–25<020202>(0124678T)8–25<464644>
(0347)4–17<102210>(01345689)8–17<546652>
(0358)4–26<012120>(0134578T)8–26<456562>
(0369)4–28<004002>(0134679T)8–28<448444>
(01234)5–1<432100>(0123456)7–1<654321>
(01235)5–2<332110>(0123457)7–2<554331>
(01236)5–4<322111>(0123467)7–4<544332>
(01237)5–5<321121>(0123567)7–5<543342>
(01245)5–3<322210>(0123458)7–3<544431>
(01246)5–9<231211>(0123468)7–9<453432>
(01247)5–Z36<222121>(0123568)7–Z36<444342>
(01248)5–13<221311>(0124568)7–13<443532>
(01256)5–6<311221>(0123478)7–6<533442>
(01257)5–14<221131>(0123578)7–14<443352>
(01258)5–Z38<212221>(0124578)7–Z38<434442>
(01267)5–7<310132>(0123678)7–7<532353>
(01268)5–15<220222>(0124678)7–15<442443>
(01346)5–10<223111>(0123469)7–10<445332>
(01347)5–16<213211>(0123569)7–16<435432>
(01348)5–Z17<212320>(0124569)7–Z17<434541>
(01356)5–Z12<222121>(0123479)7–Z12<444342>
(01357)5–24<131221>(0123579)7–24<353442>
(01358)5–27<122230>(0124579)7–27<344451>
(01367)5–19<212122>(0123679)7–19<434343>
(01368)5–29<122131>(0124679)7–29<344352>
(01369)5–31<114112>(0134679)7–31<336333>
(01457)5–Z18<212221>(0145679)7–Z18<434442>
(01458)5–21<202420>(0124589)7–21<424641>
(01468)5–30<121321>(0124689)7–30<343542>
(01469)5–32<113221>(0134689)7–32<335442>
(01478)5–22<202321>(0125689)7–22<424542>
(01568)5–20<211231>(0125679)7–20<433452>
(02346)5–8<232201>(0234568)7–8<454422>
(02347)5–11<222220>(0134568)7–11<444441>
(02357)5–23<132130>(0234579)7–23<354351>
(02358)5–25<123121>(0234679)7–25<345342>
(02368)5–28<122212>(0135679)7–28<344433>
(02458)5–26<122311>(0134579)7–26<344532>
(02468)5–33<040402>(012468T)7–33<262623>
(02469)5–34<032221>(013468T)7–34<254442>
(02479)5–35<032140>(013568T)7–35<254361>
(03458)5–Z37<212320>(0134578)7–Z37<434541>
(012345)6–1<543210>
(012346)6–2<443211>
(012347)6–Z36<433221>(012356)6–Z3<433221>
(012348)6–Z37<432321>(012456)6–Z4<432321>
(012357)6–9<342231>
(012358)6–Z40<333231>(012457)6–Z11<333231>
(012367)6–5<422232>
(012368)6–Z41<332232>(012467)6–Z12<332232>
(012369)6–Z42<324222>(013467)6–Z13<324222>
(012378)6–Z38<421242>(012567)6–Z6<421242>
(012458)6–15<323421>
(012468)6–22<241422>
(012469)6–Z46<233331>(013468)6–Z24<233331>
(012478)6–Z17<322332>(012568)6–Z43<322332>
(012479)6–Z47<233241>(013568)6–Z25<233241>
(012569)6–Z44<313431>(013478)6–Z19<313431>
(012578)6–18<322242>
(012579)6–Z48<232341>(013578)6–Z26<232341>
(012678)6–7<420243>
(013457)6–Z10<333321>(023458)6–Z39<333321>
(013458)6–14<323430>
(013469)6–27<225222>
(013479)6–Z49<224322>(013569)6–Z28<224322>
(013579)6–34<142422>
(013679)6–30<224223>
(023679)6–Z29<224232>(014679)6–Z50<224232>
(014568)6–16<322431>
(014579)6–31<223431>
(014589)6–20<303630>
(023457)6–8<343230>
(023468)6–21<242412>
(023469)6–Z45<234222>(023568)6–Z23<234222>
(023579)6–33<143241>
(024579)6–32<143250>
(02468T)6–35<060603>

더 읽을거리

Section titled “더 읽을거리”
  • Straus, Joseph N. 2016. Introduction to Post-Tonal Theory. 4판. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

자료

Section titled “자료”

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